[MPC] 2. 상태 공간 방정식 유도

MPC 상태 공간 방정식 유도

• 상태공강 방정식 + LTI(Linear TimeINvariant, 선형 시간 불변 시스템)의 경우 => Continuous-time state-space model
  • 상태 방정식 : $$\bar{x} = Ax + Bu$$
  • 출력 방정식 : $$y = Cx$$
• MPC는 discrete 한 환경 => Discrete-time state-space model
  • 상태 방정식 : $$x(k+1) = A_{d}x(k) + B_{d}u(k)$$
  • 출력 방정식 : $$y(k) = C_{d}x(k)$$
• MPC 기본 모델은 Discrete-time aumented state-space model
  • 상태 변수 대신 상태 변수의 변화량 $\Delta x$ 사용
  • 상태 방정식
    • $${x(k+1) - x(k) = A_{d}(x(k)- x(k-1)) + B_{d}(u(k) - u(k-1))}$$ $$\Delta x(k+1) = A_{d}\Delta x(k) + B_{d}\Delta u(k)$$
  • 출력 방정식
    • $$y(k+1) - y(k) = C_{d}(x(k+1) - x(k)) = C_{d}\Delta x(k+1)$$$$\Delta x(k+1)= A_{d}\Delta x(k) + B_{d}\Delta u(k) \text{이므로}$$$$y(k+1) - y(k) = C_{d}(A_{d}\Delta x(k) + B_{d}\Delta u(k))$$$$y(k+1) = y(k)+ C_{d}A_{d}\Delta x(k) + C_{d}B_{d}\Delta u(k)$$
    • Matrix 형태로 정리
      • $$\begin{bmatrix}\Delta x(k+1) \ y(k+1) \end{bmatrix} =
        \begin{bmatrix} A_{d}& 0 \\ C_{d}A_{d} & 1 \end{bmatrix}
        \begin{bmatrix} \Delta x(k) \ y(k) \end{bmatrix} +
        \begin{bmatrix} B_{d} \ C_{d}B_{d} \end{bmatrix} \Delta u(k)$$$$y(k) = \begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x(k) \\ y(k) \end{bmatrix}$$
      • 단 상태 변수 $x$는 상태 변수의 변화량과 출력으로 이루어져 있음
        $$ x(k) = \begin{bmatrix} \Delta x(k)^{T} & y(k)^{T} \end{bmatrix} $$