[MPC] 3. 상태(state)와 출력(output) 예측해보기

Input / Output 정리

• $N_p$ : 예측하려는 미래 출력 수
• $N_c$ : 예측하려는 미래 제어입력 수
  • 경로 추적의 경우, $N_p$개 점을 tracking 하기 위한 $N_c$개 제어 명령...
• Control Input
  • $\Delta u(k), \Delta u(k+1), \Delta u(k+2), \cdots, \Delta u(k + N_{c} - 1)$

• Output
  • $y(k), y(k+1), \cdots, y(k+N_{p})$
  • $y(k) = Cx(k)$ 이므로 $y(k+1) = Cx(k+1), y(k+2) = Cx(k+2), \cdots$ 로 표현 가능
  • 따라서 예측 state $x(k+1), x(k+2), \cdots, x(k+N_{p})$를 구하면 됨

 

State variable 구하기

$$x(k+1) = Ax(k) + B\Delta u(k)$$$$\begin{matrix} x(k+2) &=& Ax(k+1) + B\Delta u(k+1) \ &=& A^{2}x(k) + AB\Delta u(k) + B\Delta u(k+1) \end{matrix}$$$$ \begin{matrix} x(k+3) &=& Ax(k+2) + B\Delta u(k+2) \ &=& A^{3}x(k) + A^{2}B\Delta u(k) + AB\Delta u(k+1) + B\Delta u(k+2) \end{matrix}$$$$\begin{matrix} x(k + N_{p}) &=& A^{N_p}x(k) + A^{N_{p-1}}B\Delta u(k) + A^{N_{p-2}}B\Delta u(k+1) + \cdots + A^{N_{p}- N_c}B\Delta u(k + N_{c}- 1) \end{matrix}$$

 

• 일 때, $y(k) = Cx(k)$ 이므로 $C$ 만 곱하면 출력
  $$y(k+1) = CAx(k) + CB\Delta u(k)$$$$\begin{matrix} y(k+2) &=& CAx(k+1) + CB\Delta u(k+1) \ &=& CA^{2}x(k) + CAB\Delta u(k) + CB\Delta u(k+1) \end{matrix}$$$$ \begin{matrix} y(k+3) &=& CAx(k+2) + CB\Delta u(k+2) \ &=& CA^{3}x(k) + CA^{2}B\Delta u(k) + CAB\Delta u(k+1) + CB\Delta u(k+2) \end{matrix}$$$$\begin{matrix} y(k + N_{p}) &=& CA^{N_p}x(k) + CA^{N_{p-1}}B\Delta u(k) + CA^{N_{p-2}}B\Delta u(k+1) + \cdots + CA^{N_{p}- N_c}B\Delta u(k + N_{c}- 1) \end{matrix}$$

 

• $y(k + N_{p})= Y$, $CA^{N_{p}\cdots N_{p}-N_{c}} = F$ , $\Delta u(k + (0 \cdots N_{c}-1)) = \Delta U$ 로 놓으면

$$Y = Fx(k) + \Phi \Delta U$$ $$F = \begin{bmatrix}CA \ CA^{2}\ CA^{3}\ \vdots \ CA^{N_{p}- N_c} \end{bmatrix},
\Phi = \begin{bmatrix}
CB & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
CAB & CB & 0 & \cdots & 0 \\
CA^{2}B & CAB & CB & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
CA^{N_{p}-1}B & CA^{N_{p}-2}B & CA^{N_{p}-3}B & \cdots & 0\end{bmatrix}$$

 

• 현재 정보 $x(k)$ 를 안다면, 제어입력 $\Delta U$ 를 넣었을 때 미래 출력을 알 수 있다!
• $N_c$ 개 입력을 "design" 해서 $N_p$ 개 출력을 낼 수 있음
• 반대로 어떤 출력을 위한 입력을 설계할 수도 있음